Теорема лебега о предельном переходе под знаком интеграла

Предельный переход под знаком интеграла.

Теорема о предельном переходе под знаком интеграла. Теорема Дини, следствия из нее для рядов и интегралов. Предельный переход под знаком интеграла: теорема Лебега, теорема Леви. Связь между интегралом Римана. Предельный переход под знаком интеграла. для приложений теоремы о предельном переходе под знаком интеграла. . Свойства интеграла Лебега. На Студопедии вы можете прочитать про: Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега. Подробнее.

Сохранение измеримости при гладком отображении. Теорема о разложимости произвольного гладкого отображения в суперпозицию простых отображений.

Теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега

Правило замены переменных в интеграле. Интегралы по кривым и поверхностям Задача о массе материальной кривой. Криволинейный интеграл 1-го рода, его свойства и вычисление.

Задача о работе силового поля. Криволинейный интеграл 2-го рода, его свойства и вычисление. Понятие об ориентации кривой. Поверхностный интеграл 1-го рода: Поверхностный интеграл 2-го рода, его свойства и вычисление.

Предельный переход под знаком интеграла Лебега — Викиконспекты

Формула Гаусса — Остроградского и дивергенция векторного поля. Формула Стокса и ротор векторного поля. Инвариантные интегральные определения ротора и дивергенции. Условия потенциальности, выраженные через циркуляцию и через ротор. Нахождение потенциала данного векторного поля.

Критерий соленоидальности в терминах потока и векторного потенциала. Мера и интеграл Лебега Брусы в Rn. Элементарные множества и их свойства. Предел меры монотонной последовательности множеств. Связь измеримости по Лебегу с измеримостью по Жордану.

Пример множества, неизмеримого по Лебегу.

теорема лебега о предельном переходе под знаком интеграла

Измеримые функции и их основные свойства. Сходимость функциональных последовательностей почти всюду и по мере. Заметим также, что как и в теореме Витали, в теореме Витали-Арешкина используется понятие равностепенной абсолютной непрерывности последовательности неопределённых интегралов относительно последовательности мер. Основной целью диссертации является, во-первых, найти условия равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей функций множества; во-вторых, ослабить в теореме Витали-Арешкина условие сходимости последовательности функции точки всюду.

Соответственно, решению вытекающих отсюда задач посвящены главы 1 и 2 диссертации. В главе 1 изучены условия равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер. Этот вопрос изучался в работах В. Аля-кина [6], [7] и В. Климкина [27], [29], [30]. Получить условие равностепенной абсолютной непрерывности, не накладывая дополнительных условий, невозможно.

Это показывает уже следующий простейший пример: В наиболее ранней работе [27], посвященной данному вопросу, В. В дальнейшем в работах В. Климкина использовалось понятие диагональности последовательности функций множества, которое можно рассматривать, как обобщение этого условия. В диссертации показано, что последовательность функций множества является диагональной тогда и только тогда, когда диагональной является последовательность их супремаций полных вариаций, если функции множества аддитивны.

Введено понятие слабой диагональности последовательности функций множества, с использованием которого получен критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер, значительно усиливающий ранее известный критерий Климкина.

Классические теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега

Исследованы некоторые свойства диагонально непрерывных последовательностей. С использованием понятия диагональной непрерывности последовательности мер получен ещё один критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер. Далее — некоторое кольцо множеств. Конечно-аддитивную функцию множества будем называть мерой. Счётно-аддитивную функцию множества будем называть счётно-аддитивной мерой. Неотрицательную монотонную полуаддитивную функцию множества будем называть субмерой.

Клим-кина были получены некоторые условия равностепенной абсолютной непрерывности, в частности, следующие две теоремы. В диссертации доказаны следующие теоремы. Далее в диссертации введено новое понятие слабой диагональпости последовательности функций множества.

теорема лебега о предельном переходе под знаком интеграла

Ранее аналогичный критерий был получен В. Это является существенным недостатком теоремы Климкина. Алякина [7] было введено определение диагональной непрерывности последовательности субмер. В диссертации принято похожее, но более общее определение, к тому же накладывающее на последовательность функций множества более слабые условия. С использованием понятия диагональной непрерывности в диссертации получен следующий критерий равностепенной абсолютной непрерывности двух последовательностей мер.

Построен контрпример пример 1. Также построен контрпример пример 1. В главе 2 рассмотрен вопрос о предельном переходе под знаком интеграла Лебега, точнее — об усилении теоремы Витали-Арешкина. Далее X — некоторое пространство, Т — некоторая сг-алгебра с единицей X.

Рассматриваемые меры действуют из Т в [0, -f-oo и принимают на пустом множестве значение 0. Вторая теорема заменяет в теореме Витали-Арешкина условие сходимости всюду последовательности подынтегральных функций более слабым условием сходимости последовательности подынтегральных функций по мере относительно каждой из мер последовательности Теорема 2. Получены достаточные условия, при выполнении которых из равномерной непрерывности сверху на пустом множестве семейства таких функций следует равномерная непрерывность семейства их супремаций.

Александров показал, что в любом некомпактном нормальном сг-топологическом пространстве существует регулярная скалярная конечная аддитивная исчерпывающая функция множества, которая не является счётно-аддитивной, то есть не обладает свойством непрерывности сверху на пустом множестве.

В работе [37] А.